29 Mar Sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.
En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y “x” e “y” son las incógnitas.
Una solución es todo par de números que cumple la ecuación.
Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de soluciones:
- Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto.
- Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.
- Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.
Existen diferentes métodos de resolución:
- Sustitución.
- Reducción.
- Igualación.
En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo:
Sistema de ecuaciones: método de sustitución
A través del método de sustitución lo que debemos hacer es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la siguiente. Veamos el siguiente ejemplo:
Lo primero que hacemos es despejar una de las incógnitas en la primera ecuación.
x+y=7
x= 7-y
Posteriormente, sustituimos en la segunda ecuación el valor correspondiente de la “x”.
5x-2y=-7
5.(7-y)-2y=-7
Ahora, despejamos la “y”.
35-5y-2y=-7
35-7y=-7
-7y=-7-35
-7y=-42
y=-42/-7=6
y=6
Por último, utilizamos el valor de “y” para hallar el valor de “x”.
x= 7-y
x=7-6=1
x=1
La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.
Sistema de ecuaciones: método de reducción
Con el método de reducción lo que hacemos es sumar o restar, nuestras ecuaciones para que desaparezca una de nuestras incógnitas.
Los pasos a seguir son los siguientes:
En primer lugar, necesitamos preparar las dos ecuaciones, si es necesario, multiplicándolas por los números que convenga. Queremos conseguir el mismo número con signo opuesto en la misma incógnita (»x» o »y»).
En este caso, queremos reducir la “y” de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2.
2(x+y=7)
5x-2y=-7
Así, el sistema se queda:
Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la »y» desaparece.
Y nos quedaría:
7x=7
x=7/7=1
x=1
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
y= 7-x
y=7-1=6
y=6
La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.
Sistema de ecuaciones: método de igualación
El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados.
Los pasos a seguir son los siguientes:
En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso, empezaremos por la “x” y despejamos la misma en ambas ecuaciones.
x+y=7; x=7-y
5x-2y=-7; 5x=2y-7; x=(2y-7)/5
Una vez hemos despejado, igualamos:
7-y=(2y-7)/5
5(7-y=(2y-7)/5)
35-5y=2y-7
42=7y
y=42/7=6
y=6
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales.
x=7-y
x=7-6=1
x=1
La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.